luogu1967 货车运输 题解
题目要求不超过限重,不难想到因该最大化每条路的限重。所以在原图上求出最大生成树。
对于点 \((x,y)\),如果在并查集中 \(x\) 与 \(y\) 不在同一个集合,则 \(x\) 不能到达 \(y\)
接下来就是每辆车最多运送的货物,不难想到最多运送的货物就是 $ (x y)$ 路径上权值最小的边。
如果用朴素的算法去求最小的边权,那么复杂度会上天,\(O(n)\)。
联系我们对求 LCA 的倍增优化,可以对求路径上最小的边权进行倍增优化。
设 \(d(x,k)\) 为节点 x$ 到它的 \(2^k\) 辈祖先这条路径上最小的边权。
接着不难想到转移 \[ d(x,k)=\min_{k \le \log_2n}{ \{ d(x,k-1),d(f(x,k-1),k-1) \} } \] 可以在求 $ f$ 数组的同时求出。
所以,在求 LCA 的过程中不断维护路径上最小的 $ d(x,k)$。
这题毒瘤数据,给出的图不一定联通。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register
const int N=1e5+10, M=5e5+5;
int n, m, q, t, o;
int fr[N], f[N][20], d[N][20], dep[N];
int cnt, h[N], ver[N<<1], nxt[N<<1], g[N<<1];
struct pt { int u, v, w; } a[M];
void add(int x,int y,int z) { ver[++cnt]=y, g[cnt]=z, nxt[cnt]=h[x], h[x]=cnt; }
int get(int x) { return x==fr[x]? x:fr[x]=get(fr[x]); }
bool cmp(pt a,pt b) { return a.w>b.w; }
void kruskal() {
sort(a+1,a+m+1,cmp);
R int i, x, y;
for(i=1;i<=m;++i) {
x=get(a[i].u), y=get(a[i].v);
if(x!=y) {
fr[x]=y;
add(a[i].u,a[i].v,a[i].w), add(a[i].v,a[i].u,a[i].w);
}
}
}
void dfs(int x,int pre) {
R int i, y;
dep[x]=dep[pre]+1;
for(i=1;i<=17;++i) {
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
d[x][i]=min(d[x][i-1],d[f[x][i-1]][i-1]);
}
for(i=h[x];i;i=nxt[i]) if(ver[i]!=pre) {
y=ver[i];
f[y][0]=x, d[y][0]=g[i], dfs(y,x);
}
}
int lca(int x,int y) {
R int i, res=1<<30;
if(get(x)!=get(y)) return -1;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(i=17;i>=0;--i) {
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) res=min(res,d[x][i]), x=f[x][i];
if(x==y) return res;
}
for(i=17;i>=0;--i) if(f[x][i]!=f[y][i]) {
res=min(min(res,d[x][i]),d[y][i]);
x=f[x][i], y=f[y][i];
}
return min(min(res,d[x][0]),d[y][0]);
}
int main() {
R int i, x, y;
memset(d,0x3f,sizeof(d));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;++i) fr[i]=i;
for(i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
kruskal();
for(i=1;i<=n;++i) if(!dep[i]) dfs(i,0);
scanf("%d",&q);
while(q--) {
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",lca(x,y));
}
}
luogu1967 货车运输 题解
https://yozora0908.github.io/2021/lg1967-solution/